、前言

    圓是日常生活很容易見到的形狀，然而圓面積並不像長方形、三角形或平行四邊形面積容易理解，因此在教學現場上，本單元學生往往較不易理解。此外，我國的課程綱要中，面積教材較著重於量與實測，強化了量的計算輕忽圖形表徵的差異，因此長期相對的弱化了幾何意涵。林秀瑾與張英傑(2005)、莊月嬌與張英傑(2006)分析不同時期教科書亦發現，我國幾何教材綱要的內容在空間方位與空間視覺化推理部分均明顯不足，有待調整。而面積概念包含數、量、形與三者間的關係，學生在學習面積時，容易產生許多迷思概念而學不好，例如保留性的不足、兒童對面積的了解是建立在視覺的知覺上，而不是在覆蓋與堆疊的活動上、公式誤用、周長與面積混淆、不了解單位量與單位數的關係 (譚寧君，1998) 。尤其對於複合圖形，學生常常不容易察覺圖形中所蘊含的關係，如何運用面積切割、填補或輔助線等的解題經驗較缺乏。曾千純（2002）的研究也曾指出，高達 51%的學童無法了解複合圖形間合成、分解的關係，顯示複合圖形在學習上的複雜度。因此藉由本篇文章提供一些教學文獻，作為老師教授本單元之參考。

二、圓面積之教材分析

   九年一貫課程綱要將數學領域分為五大主題，分別是「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」，根據民國 97年課程綱要，圓面積屬於「量與實測」、「幾何」雙指標，如表一，在六年級才開始介紹，但圓的引入其實從一年級就已開始，接著在往後的三年級及六年級繼續加深、加廣。在中低年級概念形成的階段，教學重點較著重在幾何的部分，在教材的設計上以具體操作為主，因此透過畫、描、剪、摺圓等活動，來建立圓周、圓心、和半徑的概念和關係（劉好，2000），到了六年級學童的認知發展已達van Hiele幾何思考的描述階段（Descriptive），能利用圖形組成要素的名稱與關係來分析圖形，因此可以利用圓形組成要素的特徵來解題。

表 一     97 年版課程綱要中與圓相關的能力指標

    按照 van Hiele 的幾何發展描述，六年級學童應能利用圖形中的半徑、直徑、圓周長等來解題，首先引入的是圓周率的教學，在圓周率的教學的兩個問題(王建興，2003)，第一、學生對於圓周長的測量，是教學的重點，學生必須先學會測量圓周長與直徑，才能進行圓周長與直徑關係比較的活動。第二、當學生實際測量圓周長與直徑後，如何去引導學生發現圓周長與直徑的比率是大約相等的，這其中牽涉到測量誤差的解釋，必須讓學生明白測量時誤差的原因是什麼?然後訂出圓周長是直徑大約3倍的關係，引出圓周率的概念。

    其次，引入不規則圖形及圓形的點數格子活動，加強覺察圓面積的測量是透過不同單位量的覆蓋或拼湊而成，之後再經由切割活動發展圓面積的公式。最後，除了課程綱要中的基本要求外，不管在南一版本、翰林版本或康軒版本，都可見到圓和其他複合圖形的組合，學生對圓複合圖形所進行之分析實則為一種心像運作的過程，此能力必須奠基於圖形的視覺直觀分析能力（林曉菁與姚如芬，2006）。

三、圓面積概念

    要探討圓面積的概念之前，我們必須對於面積概念有深刻認知，參考譚寧君(1995)的面積概念分類，針對圓面積基本概念、圓面積保留概念、圓面積測量概念與圓面積估測概念及學生在前述概念中容易產生的迷思概念逐一探究。

    (一)圓面積基本概念

    譚寧君(1995)指出「面積」為二維的量，指的是對某一特定區域被覆蓋範圍的大小，故此時的覆蓋活動，包含了二個條件，一、面積是有周界的，故覆蓋物不能超過給定的邊界。二、面積是從一維到二維掃描的結果，故覆蓋物不能重疊。

因此，圓面積指的是圓形內封閉區域的大小，譚寧君(1997)研究報告發現，部分學生只知道圓面積公式，但不知圓面積是指圓內部區域的大小

    (二)圓面積保留概念

    面積保留概念乃指兒童面對物體的某種轉換時，如位置的移動、方向的轉動、形狀的改變或切割活動，能瞭解其面積依然保持不變的認知能力。此概念的發展是持續不斷的成長歷程而非一蹴而成的。面積保留概念又包含二個不同的層次：

        1.基本面積保留：

    此層次代表任何封閉範圍面積的大小，不因改變而不同，例如將一圓分成四

等份後，將其中部份翻轉，此時兩圖外觀上雖截然不同，但其面積卻沒改變。

        2.互補面積保留：

    指學童能認知在面積相等的兩個面上，此兩個面的面積減去形狀不同但面積

相同的面積大小後，其面積是不會改變的，故互補面積保留概念是屬於逆向的邏

輯思考，在兒童已具備基本面積保留概念後始可提及互補關係。例如圖一

圖一  互補面積保留例題

    (三)圓面積測量概念

    面積測量基本概念即在探索封閉範圍內的覆蓋情形，可分成三個不同層次：

        1.基本面積概念

    圓面積測量測量概念可以經由點數格子的活動而學習，透過對稱性的察覺降低點數次數，進而發現圓面積的範圍，如圖二。

圖二 圓面積點數格子活動

        2.單位面積概念

    面積的測量是透過各個不同單位量的覆蓋或拼湊而成，如一正方形，可操作不同單位量以描述面積的大小，故正方形可用六個□蓋滿，即表示正方形的面積是六個平方單位，若改用⊿蓋滿表示正方形時，由於單位量的不同（一為□，一為⊿）故其單位數亦有不同（一為六個，一為十二個）。個別單位是測量的基本單位，但不同單位之間的轉換是有效掌握單位量與單位數之間關係的重要概念(譚寧君，1997)，並且視覺切割活動往往是在豐富的實際切割活動後才能形成切割的心象，進而簡化成紙上進行切割活動。

    由於圓為曲線，面積的測量不易透過單位量的覆蓋，故往往經由切割活動察覺圓面積、平行四邊形與長方形的關係(圖三)，進而發展圓面積的公式，然後運用圓面積公式解決相關複合圖形面積的問題。

圖三 圓面積切割活動

        3.直線測量面積概念

    直線測量法（straight line measuring）與前述基本面積概念透過點數測量及單位面積概念透過覆蓋、拼湊、比較與切割等活動進行測量是完全不同的，直線測量法包括單位在數學上的相乘關係，基本面積與單位面積，故一般所謂的面積公式如長方形面積等於長乘以寬，三角形面積等於底乘以高除以2等均屬於此範疇。事實上，此階段不只包括一切特定圖形的面積公式，還包括了作圖、單位量的測量與轉換，及面積的包含關係等。如圖

灰色部份是二個四分之一圓的交集部份，兒童需先能了解幾何圖形的包含關係，再透過面積測量公式始能解題。 如圖

則先透過圖形的切割、旋轉與移動等幾何推理活動，察覺圖形關係，再利用圓面積公式進行解題。

    (四)圓面積估測概念

    測量在實測領域中除了實測部份外，量感的培養是教學的重點，故面積的估測在教材中應不可或缺，由於兒童已有切割、覆蓋的經驗，即可透過任何自然工具，包括目測或手量以感覺到估測一個單位量與單位數的關係，再用公式去檢驗，此種先猜後檢驗的活動，既能引起兒童參與的興趣，又能培養估測的能力。

    圓面積在透過點數格子活動後，除了目測或手量估測外，我們可透過圓的內接正方形和外切正方形的面積，估測圓面積是介於二者之間，亦可在教學中引進有關數學史上求圓面積或圓周率的發展歷史軌跡，例如西方的阿基米德或東方的劉徽、祖沖之，透過圓內接多邊形來逼近圓，如圖四。

圖四 圓面積估測活動

    (五)圓面積的迷思概念

    雖然圓在生活中處處可見，但圓面積的形成並不像正方形或長方形那樣容易點數，而且在教學上常常很快就進入圓周率、圓面積的概念及公式計算，在整體認識上，圓也較其他面積單元抽象，容易使學生產生迷思概念，更惶論進一步的圖形切割、保留、重組了。教師的任務在於幫助學童能做有意義及有效的學習，分析學生的迷思概念可以了解學生的內在概念，使教師更了解學生的心理運作，對於教學策略的修正與實施有相當大的幫助。

    參考國內學者侯雪卿(2003)將有關於圓容易產生的迷思概念整理成表二:

表二 圓的迷思概念

四、圓面積的相關文獻探討

    圓面積問題大概從二千多年前就已經有史料紀載，其方法大致為化圓為方，也就是利用圓內接與圓外切正多邊形來計算圓的面積，公元263年，劉徽在他的《九章算術》注中，證明了圓面積公式「半周半徑相乘」。洪萬生(2004)更指出歐幾里得的公式證明利用的是窮盡法與歸謬法，是一種典型的「間接證法」，滿足了「說服」的功能；而劉徽通過割圓再拼湊的方法，逐步逼近所求長方形。是不折不扣的「直接證法」，滿足了「說服」與「直觀說明」的功能。因此他建議如果在中小學課程中引進圓面積公式，我們應該好好考慮「半周半徑相乘」這個公式。

    現今對於有關圓周率與圓面積的教學研究不多，整理文獻如下:

    (一)王建興(2003)以國小教師數學單元教學之探討—以圓周率教學為例進行研究，探討教師如何進行圓周率教學及可能遭遇的問題，提醒我們圓周率教學時，應設計讓學生去找尋圓周長與直徑的關係，老師或課本不要直接告知這關係是約3倍，並且在進行測量時，老師必須預先準備適合測量的圓形物件，避免學生測量的誤差，而造成結果誤差更大，影響圓周率概念的引出。

    (二)許乃賜(2004)以動態幾何教學與傳統教學對國小五年級學童圓教學成效之研究，結果顯示學習成效在後測與延測均有顯著差異，並在圓保留、圓測量、圓估測方面部分表現比控制組還要好，說明了GPS資訊融入教學活動在這些方面能夠給予學童較好的學習成效與深刻的印象，上述兩者也都認為把求圓周率及求圓面積的數學史融入教學，可提高學生學習數學的興趣。

    (三)謝宗穎(2009)數學史融入國小數學教學之實驗研究─以「圓」為例，研究顯示開發適當數學史媒體及素材融入教學，可以提升學生數學學習成效，並建立正向數學學習態度。

    (四)鄭皓元(2005)在國小高年級學童的面積問題解題策略之研究中指出，學生解決面積問題最常使用的策略為「應用面積保留概念」，其次是「合併成單位面積」和「將圖形切割、移補後，再計算面積」。研究結果也指出大多數高年級學生的解題思考還是直線性的，無法從已知條件之間的關係尋求解題的線索，題目必須提供完整的條件，學生才能順利解題。

    (五)沈佩芳(2002)在「國小高年級學童的平面幾何圖形概念之探究」的研究中發現，高年級學童對於圓形幾乎都有迷思，在圓形的視覺辨識上，認為半圓形是圓形的一半，所以也是圓形；橢圓雖然不是正的，但沒有任何直線或角，所以也是圓形的一種。圓形就想到半徑×半徑×3.14，而半徑就是圓的一半， 顯示學童把面積公式和圓形的辨識混在一起。

    (六)葉國平(2007)以比、圓面積為例，分析國小六年級數學解題之基模知識及解題歷程，指出在解題歷程方面，其順序非一定循讀題、分析、計畫、執行、驗證等五個階段線性進行，會隨著思考而做隨機的調整。在解題策略方面，有嘗試錯誤、直接解題、畫圖、順向求解。在基模知識上，高成就學生在解題時會運用較多的基模知識於解題，中成就學生在解題時會運用基模知識於解題但是略顯不足，低成就學生在解題時較少運用基模知識於解題，甚至本身的基模知識就含著許多錯誤迷思。

五、結語

    綜合上述國內學者之研究文獻，幾何解題活動是需要高度認知要求的複雜活動，圓面積概念要學得好，首先必須先掌握正確的圓的基本概念，並澄清圓的迷思概念，在教學中重視實際操作測量，並加入數學史引起興趣，其次，左台益(2007)也提到幾何圖形蘊含著豐富的訊息，易造成學習者解讀圖形上的困難。圖形除了提供學習者直觀的察覺，也容易讓學習者形成排他性的典範現象。因此，在幾何教學上常需要幫助學習者掌握其中蘊含的脈絡訊息。建議利用教具或是資訊融入提高學習興趣與豐富學生解題思考，加入一些動態解說，以圖形的切割、填補、化輔助線等動畫呈現解題歷程，幫助學生掌握重要訊息。在幾何教學提供學習者豐富的題型，幫助增長學生推理、反思的經驗。

參考文獻

王建興（2003）。國小教師數學單元教學之探討—以圓周率教學為例。國立臺北師

    範學院數理教育研究所碩士論文，未出版，臺北市。

左台益（2007）。動態心像與幾何學習之研究（3/3）。行政院國家科學委員會專題

    研究成果報告（編號：NSC95-2521-S-003-004），未出版。

沈佩芳（2002）。國小高年級學童的平面幾何圖形概念之探究。國立臺北師範學

    院數理教育研究所碩士論文，未出版，臺北市。

林秀瑾、張英傑(2005)。台灣地區三十年來國編版小學幾何教材內容範圍分析研

    究。國立臺北教育大學學報，18(2)，65-92。

林曉菁、姚如芬(2006)。「故事式」面積教學模組之初探。科學教育與研究發展

    季刊，44，37-57。

洪萬生(2004)。教改爭議聲中，證明所為何事?。師大學報:科學教育類，2004，

    49(1)，1-14

侯雪卿（2004）。國小高年級學童圓概念教學模組補救教學之個案研究。國立嘉

    義大學國民教育研究所碩士論文，未出版，嘉義市。

莊月嬌、張英傑(2006)。國立臺北教育大學學報，19(1)，33-66。

許乃賜(2004)。動態幾何教學與傳統教學對國小五年級學童圓教學成效之研究。

    國立臺北師範學院數理教育研究所碩士論文，未出版，臺北市。

曾千純(2002）。數學學習不利學生面積概念的診斷與補救教學。國立台南師範學

    院碩士學位論文，未出版，臺南市。

葉國平(2007)。國小六年級數學解題之基模知識及解題歷程分析--以比, 圓面積

    為例。國立臺南大學數學教育學系數學科教學碩士班碩士論文，未出版，臺

    南市。

劉好(2000)。面積圖形教材的設計。臺灣省國民學校教師研習會，國民小學數學

    科新課程課程概說【高年級】。

鄭皓元(2006)。資訊融入國小數學科教學效益之研究—以六年級面積概念為例。

    國立臺北師範學院數理教育研究所碩士論文，未出版，臺北市。

謝宗穎(2009)。數學史融入國小數學教學之實驗研究-以「圓」為例。臺北市立

    教育大學數學資訊教育學系碩士論文，未出版，臺北市。

譚寧君(1995）。面積概念探討。國民教育，35(7、8)，14-19。

譚寧君(1997)。面積與體積的教材分析。國民小學數學科新課程概說(中年級) 協助兒童認知發展的數學課程，175-192。台北：台灣省國民學校教師研習會。

譚寧君(1998)。國小兒童面積迷思概念分析研究。臺北師院學報，11， 573-602。